一、定义
在极限的直观概念中，我们想表达的是：当x无限接近a时，f(x)的值无限接近L。
什么是“无限接近”？这是个有些模糊的概念，我们似乎难以用精确的数学语言去描述这种情况。但是，我们还是需要想办法去描述和使用它。为此，数学家引入了ε-δ语言。
让我们先看定义：
根据极限的(ε, δ)定义，对于函数f(x)在x→a时的极限为L，可以表达为：对于任意的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当0 < |x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε。
你也可以用数学符号表示为：lim(x→a)f(x)=L 当且仅当 ∀ε>0,∃δ>0 使得 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε.
这不容易，但让我们一步步试着理解它。
二、理解定义
让我们从定义的后半部分，也就是蕴含式部分看起。
|x – a|是自变量x和要趋近的值a之间的距离——这是x轴上的距离。∣x−a∣<δ，也就是x和a之间的距离小于δ。但这里的变量是x，我们希望站在x的视角上考虑这个问题。由此，我们可以这么思考：我们以a这个常数为基点，设定一个左右宽度都是δ的开区间，而x落在这个区间之内，这个区间暂且可以表记为(a-δ,a+δ)。
你一定也发现了，此处还有0<∣x−a∣这个条件，这个条件意思很简单，它的唯一目的就是排除x=a这种情况。为什么要进行这种排除？首先，在一些情况下，你没有办法探讨x=a这个点的情况（例如y=1/x中没有x=0的情况，那是未定义的），所以你需要排除这个点，这是“不能”；其次，极限探讨的是无限接近，本就不需要探讨“我就在那个点”的情况，这是“不用”。由此，x的区间最终变成了(a-δ,a+δ)∖{a}（这种表记方法排除了a这个点，但当然你也可以表记成别的形式，此处可参考“去心邻域”这个概念）。
与此同时，加绝对值的原因除了最直观的“距离是正数”以外，还有这样一个理由：存在函数在逼近某点时，左侧和右侧趋近不同的值情况，此时我们认为极限不存在。加了绝对值后，你才可以判断左侧和右侧都符合要求。
|f(x) – L| 是函数值f(x)与极限L之间的距离——这是y轴上的距离。∣f(x)−L∣<ε，按照上文同样的方式思考，我们以L这个常数为基点，设定一个上下宽度都是ε的开区间，而f(x)落在这个区间之内。这个区间可以表记为(L-ε,L+ε)。
让我们连起来看，我们需要实现这样的命题：给定任意的ε，你都需要找到一个δ，使得当x在(a-δ,a+δ)∖{a}中时，f(x)一定落在(L-ε,L+ε)中。也就是说，无论f(x)要落在多宽的区间内（无论ε是多少），我们都要找到一个x的区间（都存在一个δ），使得这个区间内所有的相应的f(x)都满足你的要求。如果我们找到了这个δ，那也就完成了证明。
这种思路的精髓之处在于，这种“任意情况”（对于任意的ε）本身就包含了“无限接近的情况”（ε无限接近0的情况），你都证明了“任意情况”，也就更证明了你想要的“无限接近的情况”。直觉上这似乎“扩大了要证明的范围”，但你反而把“无限接近”这种不好表达的东西，成功的用“任意的ε > 0”这种静态的方式表达出来了，使得证明成为可能。
三、简单的证明
当我们证明函数f(x)在x→a时的极限为L时，我们要怎么做？ε是任意给定的，我们要在任意给定ε的情况下，证明满足条件的δ是存在的。由此，我们便可以证明整个命题。
通过定义中不等式的变换，我们往往可以得出一个δ的限制条件。只要|f(x) – L| < ε不是恒成立，那么你在此得到δ的表达式往往包含ε，这在上文中也有所提及。但对于一些复杂的问题而言，我们无法通过简单的解不等式得出一个δ的限制条件，此时你可能需要运用放缩等各种数学方法。如果你通过其他方法给δ施加了别的人为限制，那么δ也要同时满足那些条件。
记住了：对于任意的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当0 < |x – a| < δ时，有|f(x) – L| < ε。接下来，让我们做一些简单的例题。
1.证明lim(x→2)2x=4（一般情况）
|f(x) – L| < ε，代入数据得|2x-4|<ε，也即|x-2|<ε/2，由此δ=ε/2
（通过此例，我们可以发现，δ的取值往往和ε相关，且ε减小时，所需的δ通常也会减小。但这也存在特殊情况，例如对于常函数y=1，∣f(x)−1∣<ε是恒成立的，此时δ就可以是任意值，而没有与ε形成关联。）
（此处你选取δ=ε/2，实际意思是“这是我找到的一个δ”，但事实上任何(0,ε/2)之间的δ也必然满足条件（如 δ=ε/3）。如何理解？δ表明了x轴上开区间的宽度，如果一个较大的区间都符合要求，那么它之中更小的区间也必然符合要求。极限定义只要求找到一个δ即可，找到一个具体的δ=ε/2已经完全足够了。你不是一定要找到符合条件的最大的那个δ，理解这一点对于下一题运用放缩十分重要。）
2.证明lim(x→2)x^2=4（运用放缩）
|f(x) – L| < ε，代入数据得|x^2-4|<ε，也即|x-2||x+2|<ε，|x-2||x+2|<ε
（此时|x+2|包含了未知数x，我们需要解决这个问题，或者说我们需要设法去掉此处的未知数x，将|x+2|变为常数之类的东西。）
（我们看向 |x-2|<δ这个不等式。如果我们通过限制δ来限制|x-2|，你也就能通过x这个桥梁限制|x+2|。这样做的“收益”是使你可以控制|x+2|，去掉未知数，但“代价”是ε也被施加了更多限制。你需要获得这个“收益”，所以你得承担这个“代价”——只要这是一个你能接受的“代价”就行！那么，我们要给|x-2|施加怎样的限制呢？）
此时，我们假设∣x−2∣<δ<1
（这是比较难理解的一个步骤，以下是你可能有疑惑的几个问题）
（1.为什么可以假设δ小于一个常数C？）
（你可以先看看结尾的结论：δ=min(1,ε/5)——这是什么意思？极限定义要求，对于任意ε，只要找到一个δ即可。当ε是比较小的数字时，我们选取ε/5作为δ；而当ε比较大时，我们选取1作为δ——尽管更大的δ或许也是可以的，但你不需要找到它。在极限证明中，我们要保证对于足够小的ε能找到足够小的δ，这是重要的部分；而对于较大的ε，我们可以“偷懒”取较小的δ——只要符合要求即可。这就好比，你让我找到y=x中y∈(-100,100)的任意情况，我说我找到x∈(-1,1)——这也满足你的要求了。）
（2.常数C应该如何选取？）
（常数C的选择有很大的灵活性，理论上C可以是任意正数，其实你选0.01也能证明，选100也能证明，但计算上会麻烦一些——不需要搞得那么复杂！这里选择1就是个不错的数字）
（3.为什么不是∣x−2∣<1<δ，而是∣x−2∣<δ<1？）
（始终记住，“∣x−2∣<δ”的意思是“x落在以2为中心，以δ为宽度的开区间内”，如果你写成∣x−2∣<1<δ，那δ的意义是什么呢？——似乎没什么意义了！也有种更简单的思考方式：既然极限定义需要δ可以任意小，你也就不该让1<δ这样的东西出现——你可以借此直观发现你的错误。）
∣x−2∣<1，也即1<x<3，3<∣x+2∣<5
|x-2||x+2|<ε，也即5|x-2|<ε，|x-2|<ε/5
由此，|x-2|<1 且 |x-2|<ε/5，δ=min(1,ε/5)
（放缩本质上就是用“代价”换取“收益”，不放缩可能导致问题难以解决，而过度放缩又可能重要信息，如何放缩往往也需要依靠经验和直觉。）
3.证明lim(x→0)sin(1/x)不存在（反证法）
假设极限存在，lim(x→0)sin(1/x)=L
（我们需要证明这个假设矛盾，你只需要举出一个反例，证明一个ε不行，那整个命题就是假命题了）
（我们发现，在x趋近于0时，sin(1/x)在[-1,1]之间无限震荡，所以我们需要选取一个更小的y轴区间来进行反证，这里选取ε=1/2，但其实ε<1都行，同样是方便起见）
（为什么是选取一个比[-1,1]更小的y轴区间？例如当你选取ε=1/2时，x轴无论以0为基点取多小的区间，y轴都会出现超出(-1/2,1/2)的情况，这也就出现矛盾了）
（具体步骤略）