本文为娱乐性质，撰写目的在于尝试理解一个其它领域的全新概念，内容严谨性仅供参考。
一、定义
在极限的直观理解中，我们想表达的是：当x无限接近a时，f(x)的值无限接近L。
什么是“无限接近”？这是个有些模糊的概念，我们似乎难以用精确的数学语言去描述这种情况。尽管如此，我们仍然需要一种严谨的方法来描述和使用它。为此，数学家引入了ε-δ语言，为极限提供了精确的定义。
定义如下：根据极限的(ε, δ)定义，函数f(x)在x→a时的极限为L，当且仅当：对于任意的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当0 < |x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε。
或用数学符号表示为：lim(x→a)f(x)=L ⇔ ∀ε>0,∃δ>0 使得当 0<∣x−a∣<δ 时，有∣f(x)−L∣<ε.
这个定义初看可能不太容易理解，但让我们一步步来分析它。
二、理解定义
让我们从定义的后半部分，即蕴含式部分开始分析。
|x – a|表示自变量x与要趋近的值a之间的距离，即x轴上两点的距离。∣x−a∣<δ，也就是x和a之间的距离小于δ。既然此处的变量是x，我们希望站在x的视角上考虑这个问题。由此，我们可以a这个常数为基点，设定一个左右宽度都是δ的开区间，而x落在这个区间之内，这个区间暂且可以表记为(a-δ,a+δ)。
注意在原定义中还有0<∣x−a∣这个条件，这个条件的唯一目的就是排除x=a这种情况。为什么要进行这种排除？一方面，在一些情况下，你无法探讨x=a这个点的情况（例如y=1/x中没有x=0的情况，那是未定义的），所以你需要排除这个它，这是“不能”；而另一方面，极限探讨的是无限接近，本就不需要探讨“那个点本身”的情况，这是“不用”。由此，x的区间最终变成了去心领域(a-δ,a+δ)∖{a}。
使用绝对值表达距离，除了“距离是正数”这一直观原因以外，还有这样一个理由：存在函数在逼近某点时，左侧和右侧趋近不同的值情况，此时我们认为极限不存在。加了绝对值后，你才可以判断左侧和右侧都符合要求。
|f(x) – L| 是函数值f(x)与极限L之间的距离，即y轴上两点的距离。∣f(x)−L∣<ε，按照上文同样的方式思考，我们以L这个常数为基点，设定一个上下宽度都是ε的开区间，而f(x)落在这个区间之内。这个区间可以表记为(L-ε,L+ε)。
现在让我们把两部分联系起来，我们需要实现这样的命题：对于给定任意的ε，你都需要找到一个δ，使得当x在(a-δ,a+δ)∖{a}中时，f(x)一定落在(L-ε,L+ε)中。也就是说，无论f(x)要落在多宽的区间内（无论ε是多少），我们都要找到一个x的区间（都存在一个δ），使得这个区间内所有的相应的f(x)都满足你的要求。如果我们找到了这个δ，那也就完成了证明。
这种思路的精髓之处在于，这种“任意情况”（对于任意的ε）本身就包含了“无限接近的情况”（“ε无限接近0”的情况），你都证明了“任意情况”，也就更证明了你想要的“无限接近的情况”。直觉上这似乎“扩大了要证明的范围”，但你反而把“无限接近”这种不好表达的东西，成功的用“任意的ε > 0”这种静态的方式表达出来了，使得证明成为可能。
三、简单的证明示例
当我们证明函数f(x)在x→a时的极限为L时，我们要怎么做？ε是任意给定的，我们要在给定ε的情况下，证明满足条件的δ是存在的。由此，我们便可以证明整个命题。
通过对定义中的不等式（ 0<∣x−a∣<δ ）进行变换，我们往往可以得出一个δ的限制条件。对于一些复杂的问题而言，我们无法通过简单的解不等式得出一个δ的限制条件，此时你可能需要运用放缩等各种数学方法。如果你通过其他方法给δ施加了别的人为限制，那么δ也要同时满足那些条件。
记住了：对于任意的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当0 < |x – a| < δ时，有|f(x) – L| < ε。接下来，让我们做一些简单的例题。
1.证明lim(x→2)2x=4（简单情况）
假设命题成立，我们需要确保|f(x) - L| < ε，代入数据得|2x-4|<ε，也即|x-2|<ε/2，由此δ=ε/2
通过此例，我们可以看到δ的取值往往和ε相关，且ε减小时，所需的δ一般也会减小。但也存在特殊情况，例如对于常函数y=1，|f(x)−1|<ε是恒成立的，此时δ就可以是任意正数，而没有与ε形成关联。
这里我们选取δ=ε/2，意思是“这是我找到的一个δ”。但实际上，任何(0,ε/2)之间的δ也都必然满足条件。如何理解？δ表明了x轴上开区间的宽度，如果一个较大的区间都符合要求，那么它的子区间也自然满足。极限定义只要求我们找到一个δ即可，找到一个具体的δ=ε/2已经完全足够了。
2.证明lim(x→2)x^2=4（运用放缩技巧）
假设命题成立，我们需要确保|f(x) - L| < ε，代入数据得|x^2-4|<ε，也即|x-2||x+2|<ε，|x-2|<ε/|x+2|
这里出现了|x+2|这个含有未知数x的因子，我们需要解决这个问题。换句话说，我们需要设法消除|x+2|的未知数，将其转化为常数之类的东西。
注意到，我们可以从条件中得出|x-2|<δ这个不等式。如果我们通过主动限制δ来限制|x-2|，也就进而能通过x这个桥梁限制|x+2|。这样做的“收益”是我们可以控制|x+2|，去掉未知数；但“代价”是ε也被施加了更多限制。你需要获得这个“收益”，所以你得承担这个“代价”——只要这是一个你能接受的“代价”就行！那么，我们要给|x-2|施加怎样的限制呢？
此时，假设∣x−2∣<δ<1
这是比较难理解的一个步骤，以下是你可能有疑惑的几个问题：
i.为什么可以假设δ小于某个常数？
始终记住，δ是一个你要设法寻找的值。你想自己给自己设限，这不会带来什么问题——没有谁会拦着你！这首先解决了你为什么“被允许”这么做的疑问。那么，为什么这么做“不会带来麻烦”呢？
δ的意思，是你找到的x的区间的大小范围。
当ε的要求足够宽松（ε较大），宽松到δ=1能满足条件的情况下，我们只需要取δ=1就可以了。你不需要设法找到符合条件的最大的δ，毕竟极限定义只要求我们找到一个δ即可。这就好比，你让我找到y=x中y∈(-100,100)的任意情况，我可以说我找到了x=(-1,1)，这仍然是一个满足要求的“偷懒”之选。
而当ε的要求很严格（ε较小），使得δ=1无法满足条件时，我们则在后续过程中再去解决，为δ寻找到一个包含ε的取值。由于你通过放缩限制了x，你在后续步骤中是可以完成这个任务的。
最终，我们只需要用δ=min(1,你找到的值)这样的格式来表达结论就行，无论ε的取值多严格，只要选用满足条件的那个δ就行。
ii.常数1是如何选取的？
常数的选择有很大的灵活性，理论上它可以是任何正数，选择0.01或者100都是可行的，但计算上会麻烦一些，而1通常是个不错的选择。
iii.为什么不是∣x−2∣<1<δ，而是∣x−2∣<δ<1？
始终记住，“∣x−2∣<δ”的意思是“x落在以2为中心，以δ为宽度的开区间内”，如果你写成∣x−2∣<1<δ，那δ的存在也就没有意义了。也有种更简单的思考方式：既然极限定义需要δ可以任意小，你也就不该让1<δ这样的东西出现——你可以借此直观发现你的错误。
|x−2|<1，也即1<x<3，3<|x+2|<5
|x-2||x+2|<ε，也即5|x-2|<ε，|x-2|<ε/5
由此，|x-2|<1 且 |x-2|<ε/5，δ=min(1,ε/5)